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次数の計算問題

式の次数を答える

この単元のポイント

公式と考え方

次数を求めるときは，文字が何個かけられているかを各項で調べます。多項式ではその最大値を採用しますが，先に同類項を整理し，消える項を除く必要があります。係数の大きさや項の個数とは別の情報なので，どの文字の指数を数えたかを明確にしましょう。

  • 単項式の次数は，かけ合わされている文字の個数です。3x2y3x^2y は xx が2個，yy が1個で，次数は3です。係数は次数に含めません。文字が複数ある単項式では，それぞれの指数を足して数えます。指数のない文字にも1個分があります。係数は何倍かを表す数なので，文字の個数へ足したりかけたりしない点が重要です。
  • 多項式の次数は，各項の次数のうち最大のものです。項の区切りは加法・減法です。一つの項の内部にある積の文字はまとめて数えますが，異なる項の次数を合計することはしません。各項へ次数を書き込み，最も大きいものを選ぶと整理できます。
  • 同類項があるときは，先にまとめてから次数を調べます。x2−x2+3xx^2-x^2+3x は，整理すると 3x3x なので1次式です。同類項をまとめると最高次数の項が消える場合があります。見た目の最初の項だけを読まず，係数が0にならないかを確認しましょう。全体が0になる零多項式の次数は，通常の0でない定数項とは別に扱います。
  • 次数が nn の式を nn 次式といいます。0でない定数項には文字がないので次数0です。式が0だけになった場合まで，単純に同じ決め方を適用しないようにします。答えが次数なのか「何次式」という呼び方なのかも，問いに合わせて書き分けましょう。
例題と解き方

4a2b4a^2b の次数を答えなさい。

  1. かけ合わされている文字は aa が2個，bb が1個で，合わせて3個です。
  2. 次数は3です（係数の4は数えません）。
  3. 4a2b=4×a×a×b4a^2b=4\times a\times a\times b と書き戻すと，文字は3個です。指数の和 2+1=32+1=3 も一致するため，次数は3と答えます。数の4は数えません。

5x2+3xy2−75x^2+3xy^2-7 は何次式ですか。

  1. 各項の次数は，5x25x^2 が2，3xy23xy^2 が3，−7-7 が0です。
  2. 最大は3なので，3次式です。
  3. 各項を比べると max⁡(2,3,0)=3\max(2,3,0)=3 です。したがって答えは3次式で，項の次数を 2+3+0=52+3+0=5 と足した値ではありません。最高次数の項は消えていないことも確認します。
よくある間違い
  • 誤り：4a2b4a^2b の次数を 4+2+1=74+2+1=7 とする → 正しくは 2+1=32+1=3 です。係数4は文字の個数ではありません。
  • 誤り：x2+y3x^2+y^3 の次数を5とする → 正しくは3です。積の指数は足しますが，和になっている別の項の次数は最大を選びます。
  • 誤り：x2−x2+3xx^2-x^2+3x を2次式とする → 正しくは整理後の 3x3x を見て1次式です。消えた項の次数を残さないようにします。

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