不等式の性質の計算問題

不等式を変形するときは，数直線上の大小の順序が操作後にどう変わるかを考えます。同じ数の加減や正の倍率では順序が保たれ，負の倍率では左右が反転します。かける数の符号に注目することで，等式と異なる注意点を整理できます。

• $a<b$ のとき，両辺に同じ数を足しても引いても，不等号の向きは変わりません。$a+c<b+c$，$a-c<b-c$。同じ数の加減は，二つの位置を同じ距離だけ平行に動かす操作です。間隔や左右の順序は変わりません。足す数そのものが負でも，同じ移動であれば向きを変える必要はない点に注意します。
• 正の数をかけても，正の数でわっても，不等号の向きは変わりません。正の倍率は，原点からの距離を同じ割合で伸ばしたり縮めたりします。2倍も半分も，順序を入れ替えません。正の数でわることは正の逆数をかけることなので，同じ性質を利用できます。
• 負の数をかけたり，負の数でわったりすると，不等号の向きが逆になります。$a<b$ のとき，$-3a>-3b$。負の倍率では，距離の伸縮に加えて原点の反対側へ移ります。たとえば2と5を負の2倍すると負の4と負の10となり，大小が逆になります。負の数の加法とは別の操作なので，符号があるだけで逆向きにしないことが重要です。
• 0倍すると両辺が同じ0になり，もとの厳密な大小は失われます。また文字をかけたり文字でわったりするときは，その値が正か負かを先に確かめる必要があります。符号が不明なら，一つの向きへ勝手に決めないようにします。

• 誤り：$2<5$ の負の2倍を $-4<-10$ とする → 正しくは $-4>-10$ です。負の倍率で原点の左右が反転します。
• 誤り：$a>b$ から $a-5<b-5$ とする → 正しくは $a-5>b-5$ です。同じ数をひくだけでは向きを変えません。
• 誤り：$2<5$ を0倍して $0<0$ とする → 正しくは両辺とも0です。厳密な不等号を保つ乗除の規則では，0は使えません。