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式の値の計算問題

x, y に数を代入して式の値を求める

この単元のポイント

公式と考え方

式の値を求めるときは，指定された数を文字の場所へ入れる「代入」を行い，数だけの式を計算します。文字の隣にある数は乗法を表すため，負の数を入れる場合も記号を補って読む必要があります。何を代入したかが分かる式を先に書き，そのあとでかっこ・累乗・乗除・加減の順序を確認しましょう。

  • 代入する前に，文字と数の対応を確認します。x=3,y=−4x=3,y=-4 なら，式のすべての xx を3，すべての yy を負の4に置き換えます。一つの文字が複数回現れたら，どの場所でも同じ数を使います。式の値はこの指定された数に対して求めるものです。
  • 積を表す省略記号を戻すと，代入後の形を読みやすくできます。4x4x は 4×x4\times x，xyxy は x×yx\times y です。負の数を入れる場所にはかっこを付け，4×(−3)4\times(-3) のように書きます。4−34-3 と読んでしまうと，乗法が減法へ変わってしまいます。
  • 文字の二乗へ負の数を入れる場合は，かっこ全体を二乗します。y=−3y=-3 なら y2=(−3)2=9y^2=(-3)^2=9 です。一方，−y2-y^2 の先頭の負の符号は式にもともとあるため，−(−3)2=−9-(-3)^2=-9 になります。代入する数の符号と，式の演算記号を区別しましょう。
  • 数を置いたら，累乗と乗除を加減より先に計算します。分数を代入する場合も，積では約分，和や差では通分を選びます。文字を含む分母があれば，代入後に0にならないかも先に調べます。分母が0になる指定では，その式の値を求めることはできません。
  • 元の文字式を先に簡単にしてから代入する方法も使えます。たとえば 2x+x2x+x は 3x3x に直してから計算できます。検算では，直接代入した値と，整理した式へ代入した値を比べると，転記や演算の取り違えに気付きやすくなります。文字を消すこと自体が目的ではなく，指定された場面の値を出すことが目的です。
例題と解き方

x=−3x=-3 のとき，4x+74x+7 の値を求めなさい。

  1. 4x4x は 4×x4\times x なので，指定された負の3をかっこ付きで入れ，4×(−3)+74\times(-3)+7 と書きます。数を並べてつなげるのではありません。
  2. 先に乗法を計算し，4×(−3)=−124\times(-3)=-12 を求めます。式は −12+7-12+7 という異符号の加法になりました。
  3. 絶対値の差は 12−7=512-7=5 で，負の側が大きいため，式の値は −5-5 です。負の12から右へ7進んだ位置とも一致します。

x=−12x=-\frac{1}{2}，y=−3y=-3 のとき，6x−y2+46x-y^2+4 の値を求めなさい。

  1. 二つの文字をそれぞれ置き換え，6×(−12)−(−3)2+46\times(-\frac{1}{2})-(-3)^2+4 とします。二乗の外にある減法の記号も，元の式どおり残します。
  2. 乗法は 6×(−12)=−36\times(-\frac{1}{2})=-3，累乗は (−3)2=9(-3)^2=9 です。したがって残る数の式は −3−9+4-3-9+4 になります。
  3. 加減を左から進めて，−3−9+4=−12+4=−8-3-9+4=-12+4=-8 です。式の値は −8-8 であり，6x+46x+4 の値1から y2y^2 の値9をひいても 1−9=−81-9=-8 になります。
よくある間違い
  • 誤り：x=−3x=-3 のとき 4x=4−3=14x=4-3=1 → 正しくは 4x=4×(−3)=−124x=4\times(-3)=-12 です。数と文字が隣り合う表記は乗法であり，負の数を入れてもその関係は変わりません。
  • 誤り：y=−3y=-3 のとき y2=−32=−9y^2=-3^2=-9 → 正しくは y2=(−3)2=9y^2=(-3)^2=9 です。代入した数全体が底なので，負の符号もかっこに含めて二乗します。
  • 誤り：y=−3y=-3 のとき −y2=9-y^2=9 → 正しくは −y2=−(−3)2=−9-y^2=-(-3)^2=-9 です。二乗の結果が正でも，式の先頭にある負の符号まで消えるわけではありません。

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