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変域の計算問題

変数のとりうる値の範囲を，不等式を使って表す練習をする

この単元のポイント

公式と考え方

変域は，その問題で変数に入れてよい値の全体を示します。端の数を求めるだけでなく，端を含むか，途中の値をすべて取れるかを数量の意味から考えます。時間や水の量のような場面では，開始と終了の条件を数式へ移すことが要点です。

  • 「3以上8以下」は 3≦x≦83\leqq x\leqq 8，「3以上8未満」は 3≦x<83\leqq x<8 と表します。左端と右端を別々に読みます。小さい側を左へ，大きい側を右へ置くと，連続した範囲を一つの式にまとめやすくなります。左と右の端で，等号が必要かどうかは同じとは限りません。
  • 「以上」「以下」は等号つき，「より大きい」「未満」は等号なしの不等号です。数直線の端を塗りつぶすイメージが「含む」，白い点で残すイメージが「含まない」です。境目を実際に入れてよいか言葉へ戻してみると，記号の丸暗記より確かめやすくなります。
  • 実際の場面では，水の量や時間など，負の数になれない量に注意して，変域を決めます。時間が負にならないことや，容器が満杯になったら考えるのをやめることも条件の一部です。式だけなら計算できる値でも，場面で許されないことがあります。最初と最後の量を直接求め，間の変化も見ます。
  • 個数の変数は整数だけを取る場合があります。不等式だけでは小数も含めて読めるため，必要なら「整数」と添えます。また，反比例の入力では0を除く条件があるので，端の数だけを見て0を含めないようにします。
例題と解き方

xx が3以上8未満の値をとるとき，xx の変域を不等号で表しなさい。

  1. 3以上は，3を含むので 3≦x3\leqq x です。
  2. 8未満は，8を含まないので x<8x<8 です。まとめて 3≦x<83\leqq x<8 です。
  3. 答え 3≦x<83\leqq x<8 では3は含み，8は除きます。x=3x=3 は条件に合い，x=7.5x=7.5 も合いますが，x=8x=8 は合わないことを代入して確かめられます。

空の水そう（容量20L）に，毎分2Lずつ水を入れます。水を入れ始めてから，水そうがいっぱいになるまでを考えます。xx 分後の水の量を yy L とするとき，yy の変域を求めなさい。

  1. 最初は0L，いっぱいになるときは20Lです。
  2. よって，0≦y≦200\leqq y\leqq 20 です（このとき 0≦x≦100\leqq x\leqq 10）。
  3. 満杯までの時間は 20÷2=1020\div2=10 分です。y=2xy=2x に x=0,10x=0,10 を入れると0，20となり，途中では連続して増えるので 0≦y≦200\leqq y\leqq20 です。
よくある間違い
  • 誤り：3以上8未満を 3<x≦83<x\leqq8 とする → 正しくは 3≦x<83\leqq x<8 です。両端の言葉と等号を一つずつ対応させます。
  • 誤り：満杯までの量を y≧0y\geqq0 だけで示す → 正しくは 0≦y≦200\leqq y\leqq20 です。考える場面の終了条件も変域へ含めます。
  • 誤り：0分から10分を 0<x<100<x<10 とする → 正しくは，開始時と満杯時も考えるなら 0≦x≦100\leqq x\leqq10 です。端の場面を除かないようにします。

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