比例式を含む連立方程式の計算問題

比の条件がある連立方程式では，比例式を二変数の一次方程式へ変えて使います。比の外側と内側の積をそろえ，もう一つの数量条件と組み合わせます。比を表す分母側が0でないことを，解いたあとにも忘れず確かめましょう。

• $a:b=c:d$ なら $ad=bc$ です。$x:y=2:3$ なら $3x=2y$ になります。積の等式にする理由は，比を分数と見て分母をはらうためです。比の一項が和なら，和全体を一つの量としてかっこで扱います。数字の位置だけを暗記するより，もとの二つの比の値が等しいという意味を保ちます。
• 直した式を，$ax+by=0$ や $ax+by=c$ の形に整理します。文字を同じ順に並べれば，もう一本と加減して消去しやすくなります。右辺が0になるのは，両側の文字の項を同じ辺へ集めた結果です。0を省いて等式の右辺がなくならないようにしましょう。
• 比例式 $a:b=c:d$ では，$b\neq 0$，$d\neq 0$ が前提です。解いたあと，もとの比例式が成り立つか確かめます。交差する積が等しいだけでは，分母0の候補が紛れることがあります。元の比が定義できる条件を残し，求まった値を必ずそこへ戻します。とくに両文字0の組を比の条件に入れないよう注意します。
• もう一方の式とあわせて，連立方程式として解きます。比が整数で与えられた場合，二数を同じ倍率で表す別解もあります。比2対3ならそれぞれ2倍と3倍の量と置き，合計条件を使えます。得られた組の比を約分して元の比へ戻るか，という検算も有効です。

• 誤り：$x:y=2:3$ から $2x=3y$ → 正しくは $3x=2y$ です。比を $x/y=2/3$ と読み直すと対応を確認できます。
• 誤り：$x+y=10$ と $x/y=2/3$ の比から $x=2,y=3$ とする → 正しくは同じ倍率2倍で $x=4,y=6$ です。比と実際の量は別です。
• 誤り：$x=y=0$ を比2対3に合うとする → 正しくは元の比が定義できず除外します。交差する積だけの検査では不十分です。