連立3元1次方程式の計算問題
3つの未知数をもつ3本の一次方程式を解く
この単元のポイント
公式と考え方
三変数の連立方程式は，二変数で使った消去の考え方をもう一段重ねる発展問題です。同じ文字を消す二つの操作を作ると，二変数の連立方程式へ減らせます。未知数を一つずつ復元し，最後は三本すべての条件で検査します。
- まず，3つの式から1つの文字を消去して，2つの文字の式を2本つくります。消す文字は，同じ文字で消しやすいものを選びます。一つの式の組み合わせだけでは，通常は二変数の条件が一本しか得られません。別の二式の組でも同じ文字を消すと，比較できる二本が作れます。どの式からどの式を作ったか番号を残すと，情報の重複を避けやすくなります。
- 2本の連立方程式を解いて，2つの文字の値を求めます。二変数になれば，代入法や加減法の手順は変わりません。消去しても元の解を失わない操作を使い，文字の並びをそろえます。たまたま二文字が同時に消える場合は，その式から先に一つの値を出して構いません。
- 求めた値を，もとの式のどれかに代入して，残りの文字の値を求めます。二数が分かったら，元の三式のうち計算が簡単なものへ戻します。最後の文字も同じ共通解の一部なので，復元後に三数をまとめて書きます。中学校の標準的な二元一次方程式より未知数が一つ多い内容であることを意識します。
- 検算は三本とも必要です。一つの式で残りの文字を計算しただけでは，他の二本にも合うとは限りません。また同じ条件を倍にしただけの式がある場合など，三本あっても解が一つに決まらないことがあるため，式の本数だけで判断しません。
例題と解き方
を解きなさい。
- 第1式から第2式を引くと， と が消えて， より， です。
- 第1式と第3式を足して， を消します。 に を代入すると， より， です。
- 第1式に代入して， です。解は です。
- 組 を戻すと ，， です。三本すべてで右辺を再現できるので，復元した も含めて正しい組です。
，， を解きなさい。
- 第一式から第二式をひき ，第一式から第三式をひき を得ます。
- を第一式へ入れ より です。
- ，，。三条件に合うので答えは です。
よくある間違い
- 誤り：二本から ，別の二本から を消したまま二元連立とする → 正しくは，同じ二文字が残る形へそろえます。共通の文字で比較できる二式が必要です。
- 誤り： で答えを終える → 正しくは も求めます。三変数の問いは三数の組で答えます。
- 誤り：一本だけに合えば三元連立の解とする → 正しくは三本すべてで同時に成立を確認します。消去で用いなかった条件を落とさないようにします。