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連立方程式（加減法　係数をそろえる）の計算問題

係数が異なるので、両辺を何倍かしてそろえてから加減法で解く

この単元のポイント

公式と考え方

係数がそろっていない連立方程式では，式全体を何倍かしてから加減法を使います。消したい文字の係数に共通の大きさを作ることで，残り一文字の計算へ進めます。倍率は文字の項だけでなく，定数も含む両辺全体へ適用します。

  • 消したい文字の係数の絶対値を，最小公倍数にそろえると，計算しやすくなります。最小公倍数は，係数の大きさをむやみに増やさずに済む選択です。どちらか一方だけの倍でそろう場合と，両方を倍にする場合があります。どの文字を消すほうが計算が小さくなるかも比べてみましょう。
  • 式を何倍かするときは，右辺にも同じ数をかけます（かけ忘れに注意）。式全体を同じ0でない数で倍にするので，元の等式と同じ解を持ちます。右辺を倍にし忘れると別の条件に変わります。まず倍率を横に書き，すべての項へ行き渡ったかを一項ずつ点検します。
  • そろえたら，足すか引くかして，1つの文字を消去します。そろった係数が反対符号なら足し，同符号なら引きます。倍率を選んだ時点で加減の向きまで計画しておくと，分配や負の数の計算を減らせます。消去後は一次方程式として整理し，もう一文字を元へ戻して求めます。
  • 検算では倍率をかける前の二式を使います。両式へ同じ組を入れて等しければ，倍にする操作で定数や符号を変え損ねていないと確認できます。最小公倍数以外を使っても，両辺全体への倍率が正しければ同じ解になります。
例題と解き方

{x+2y=53x−y=−6\begin{cases} x+2y=5 \\ 3x-y=-6 \end{cases} を解きなさい。

  1. 下の式を2倍します。6x−2y=−126x-2y=-12
  2. 上の式と足すと，yy が消えます。7x=−77x=-7 より，x=−1x=-1 です。
  3. −1+2y=5-1+2y=5 より，y=3y=3 です。解は x=−1, y=3x=-1,\ y=3 です。
  4. x=−1,y=3x=-1,y=3 を戻すと −1+6=5-1+6=5，−3−3=−6-3-3=-6 です。下の式を2倍したとき，右辺も負の12に変えたことが元の条件で確認できます。

{2x+3y=133x+2y=12\begin{cases} 2x+3y=13 \\ 3x+2y=12 \end{cases} を解きなさい。

  1. 上の式を3倍，下の式を2倍して，xx の係数を6にそろえます。6x+9y=396x+9y=39，6x+4y=246x+4y=24
  2. 引くと，5y=155y=15 より，y=3y=3 です。
  3. 2x+9=132x+9=13 より，x=2x=2 です。解は x=2, y=3x=2,\ y=3 です。
  4. 組 x=2,y=3x=2,y=3 で，2×2+3×3=132\times2+3\times3=13，3×2+2×3=123\times2+2\times3=12 です。別の倍率で消去しても，この二条件を満たす組へ戻る必要があります。
よくある間違い
  • 誤り：3x−y=−63x-y=-6 の2倍を 6x−2y=−66x-2y=-6 とする → 正しくは 6x−2y=−126x-2y=-12 です。右辺にも倍率2をかけます。
  • 誤り：6x+9y=396x+9y=39 と 6x+4y=246x+4y=24 を足して消去する → 正しくは引いて 5y=155y=15 です。同符号の係数を0にする演算を選びます。
  • 誤り：係数2と3を5へそろえる → 正しくは整数倍でそろえるなら最小公倍数6を使います。係数の和は共通の倍数とは限りません。

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