累乗の計算問題

累乗は，同じ数を繰り返しかける計算を短く表す書き方です。指数はかける数の個数を示し，数そのものを指数倍する意味ではありません。特に負の数では，負の符号まで繰り返しかけるのか，累乗の結果に負の符号を付けるのかを，かっこの範囲から読み取ります。

• ここでは指数を正の整数として扱います。$a^n$ の $a$ を底，$n$ を指数といい，$a$ を $n$ 個かけます。$3^4$ なら3が4個並びます。指数が1なら $a^1=a$ です。指数が0や負の場合の計算は，この「個数」の説明とは別に学びます。
• かっこ付きの底は，かっこの中全体を繰り返しかけます。$(-5)^2=(-5)\times(-5)$ に対し，$-5^2=-(5\times 5)$ です。指数がどの数に付いているかを先に確かめると，計算後に符号で迷う場面を減らせます。
• 負の数を底とする累乗では，指数が偶数なら負の因数を二つずつ組にできるため正，奇数なら負が一つ残るため負です。この規則は底全体が負の場合に使います。かっこの外にある負の符号まで，偶数の指数で消えるわけではありません。
• 分数全体の累乗は，分子と分母をそれぞれ同じ個数かけて求めます。$\left(\frac{2}{5}\right)^3=\frac{2^3}{5^3}$ です。負の分数では，先に符号を決めてから分子・分母を計算すると，負の符号を何回かけたか確認しやすくなります。
• 累乗を含む長い式では，通常，乗法・除法より先に累乗を計算します。ただし，底になっているかっこ内に計算があれば，その中を先に処理します。検算は，指数の数だけ底を実際に並べて，符号と積を確かめる方法が有効です。

• 誤り：$(-4)^2=(-4)\times 2=-8$ → 正しくは $(-4)\times(-4)=16$ です。指数2は，底を2個かけることを示し，底を2倍することとは違います。
• 誤り：$-4^2=16$ → 正しくは $-4^2=-(4\times 4)=-16$ です。負の符号を含むかっこがないので，二乗する範囲は4だけです。
• 誤り：$\left(\frac{2}{5}\right)^3=\frac{8}{5}$ → 正しくは $\frac{8}{125}$ です。分数全体を3回かけるので，分母5も3回かけなければなりません。