素因数分解の計算問題

素因数分解では，2以上の自然数を，それ以上細かく分けられない素数だけの積で表します。小さい素数で順にわり，元の数を作っている因数を取り出していくと，数の構成を調べられます。同じ素数を何個使ったかを累乗で整理し，最後に積を計算して元の数へ戻るかを確かめましょう。

• ここで自然数とは1，2，3，…の正の整数をいいます。素数は，正の約数が1と自分自身の2個だけである自然数です。2，3，5，7などが当てはまり，1は約数が1個しかないため素数ではありません。偶数の素数は2だけです。
• 小さい素数から試すと，取り出した因数を整理しやすくなります。まず2でわれる間は2を取り出し，次に3，5，7などを試します。偶数なら2，桁の和が3の倍数なら3，一の位が0か5なら5でわれるので，これらの判定が手掛かりになります。
• 途中の商が素数になれば，その素数も最後の因数として残します。あるいは，その素数でさらにわって商を1にしても構いません。商が1になるまで進めた場合，最後の1は積に書かず，取り出した素数だけを並べます。途中の商を落とさないようにしましょう。
• 同じ素数が続く部分は累乗にまとめます。たとえば2を4個取り出したなら $2^4$ と書き，$2\times 4$ とはしません。素数を小さい順に並べると，別の分け方で求めた答えとも比べやすくなります。指数が1の素数は，通常その数だけを書きます。
• 検算は二段階です。まず残った因数がすべて素数かを調べ，次に累乗と積を計算して元の自然数と一致するかを確認します。積が合っていても，4や9など素数でない因数が残っていれば素因数分解は未完成です。分ける順序が違っても，最終的な素数の個数は同じになります。

• 誤り：$84=4\times 21$ で終了 → 正しくは $84=2^2\times 3\times 7$ です。4も21も素数ではないため，積が84になっているだけでは完成ではありません。
• 誤り：$225=1\times 3^2\times 5^2$ を素数だけの積とする → 正しくは $225=3^2\times 5^2$ です。1は素数ではないので，素因数分解の因数には入れません。
• 誤り：$2\times 2\times 3\times 7=2^2\times 3$ と7を省く → 正しくは $2^2\times 3\times 7$ です。累乗にまとめた際も，異なる素数は残します。