三角関数の極限の応用の計算問題

発展的な三角関数の極限では，角の単位や入れ子，和の構造を整理して基本極限へつなげます。複雑な見た目でも，角と分母をそろえる部分を一つずつ作れば計算できます。内側の量も0へ近づくかを確認し，単に記号を置き換えるだけで済ませないようにしましょう。

• 度数法：$\lim_{x\to 0}\dfrac{\sin x^{\circ}}{x}=\dfrac{\pi}{180}$ です（$x^{\circ}=\dfrac{\pi x}{180}$ ラジアン）。度の数値を変数としているときは，弧度法へ直す係数が必要です。角と分母を同じ数へそろえる基本操作自体は変わりません。分母が度の数値のままなら，換算係数が外に残る点が重要です。
• 入れ子：$\lim_{x\to 0}\dfrac{\sin(\sin x)}{x}=\lim_{x\to 0}\dfrac{\sin(\sin x)}{\sin x}\cdot\lim_{x\to 0}\dfrac{\sin x}{x}=1$ です。入れ子では内側の関数の連続性から，それ自体が0へ近づくことを先に示します。分母にもその内側の量を作り，さらに元の変数との比を補います。近傍の0でない範囲で行う変形であることも確認します。
• 和の形：$\lim_{x\to 0}\dfrac{\sin x+\sin 2x}{x}$ は，項ごとに分けて，$1+2=3$ です。和を一つの分母でわった形なら，各項の商へ分けられます。それぞれが有限の極限を持つと確認してから和の性質を使います。二つの正弦を勝手に一つの角の正弦へまとめる恒等式はありません。
• 途中に新しい変数を置く場合も，元の変数の近づく先と対応させます。式の形だけ似せても，内側が0以外へ進むなら基本極限1は使えません。最後は各外側の係数を集め，度からの換算や角の倍率が欠けていないかを検査します。

• 誤り：$\sin x+\sin(2x)=\sin(3x)$ → 正しくは一般に等しくありません。分母で項別にわるか，正しい和積公式を使います。
• 誤り：$\sin(\sin x)/x$ に内側の極限を確認せず基本極限を適用 → 正しくは $\sin x\to0$ を先に示し，二つの基本比へ分けます。
• 誤り：度数法の換算係数を180倍とする → 正しくは $\pi/180$ 倍です。180度が $\pi$ ラジアンに対応することから確認します。