公式と考え方

二つの極限条件から関数を決めるときは，一つずつ係数に関する等式へ翻訳します。0付近の商では低い次数の係数が，別の零点の条件では分子の値が手掛かりになります。有限という条件と極限の具体的な値を区別し，同じ係数の組に同時に適用しましょう。

$f(x)$ が多項式で， $\lim_{x\to 0}\dfrac{f(x)}{x}=k$ が有限の値なら， $f(0)=0$ で， $x$ の係数が $k$ になります。分子に定数項があれば，まずそれが0になる必要があります。定数項が最初からない形なら，変数をくくって商を整理できます。残る定数が元の一次係数なので，最初の極限からどの係数が読めるかを対応させます。
$f(x)$ が多項式で， $\lim_{x\to a}\dfrac{f(x)}{x-a}$ が有限の値なら， $f(a)=0$ です。有限点で分母が一次の0になる場合，多項式の分子もその点で0でなければ有限の商は得られません。有限というだけなら極限値そのものは未知なので，余分な数値を仮定しないことが重要です。
得られた条件を連立して，係数を求め，もとの極限に代入して確かめます。二つ目の条件へ一つ目で得た係数を入れ，残る文字を解きます。条件ごとに別の関数を作るのではなく，一つの多項式の係数がすべての条件を満たす必要があります。定数項がないという問題設定も最後まで保ちます。
答えの多項式を因数分解し，二つの商を実際に簡単にして極限を取り直します。必要条件から候補が出たあと，元の条件が十分に成り立つかを確認する段階です。有限性だけを確認する条件では，値まで求めると理解が深まります。

例題と解き方

3次関数 $f(x)=x^3+bx^2+cx$ について， $\lim_{x\to 0}\dfrac{f(x)}{x}=-4$ で， $\lim_{x\to 2}\dfrac{f(x)}{x-2}$ が有限の値となるとき， $b$ ， $c$ を求めなさい。

$\dfrac{f(x)}{x}=x^2+bx+c$ なので， $x\to 0$ で $c=-4$ です。
$x\to 2$ で有限なので， $f(2)=0$ です。 $8+4b+2c=0$ に $c=-4$ を代入すると， $4b=0$ より， $b=0$ です。
答えは $b=0,c=-4$ で $f(x)=x^3-4x=x(x-2)(x+2)$ です。 $f(x)/x=x^2-4\to-4$ ， $f(x)/(x-2)=x(x+2)\to8$ で，二つ目も有限になると確認できます。

$f(x)=x^3+bx^2+cx$ とし， $\lim_{x\to0}f(x)/x=2$ ， $\lim_{x\to1}f(x)/(x-1)$ が有限となる $b,c$ を求めなさい。

よくある間違い

2つの極限の等式から関数の決定の計算問題

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