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角の移動を利用した極限の計算問題

x−πなどの置き換えで、sin t/tの基本極限に帰着させる

この単元のポイント

公式と考え方

0以外の角の近くで不定形になるときは，基準角からの差を新しい変数にします。加法定理で三角関数を差の角へ直すと，0付近の基本極限が使える形になります。近づく先と分母を同時に置き換え，基準角で生じる符号を丁寧に追いましょう。

  • t=x−at=x-a とおくと，x→ax\to a は t→0t\to 0 になります。新しい変数は基準からのずれなので，元の変数が基準角へ近づけば0へ進みます。元の変数を新しい変数と基準の和として書き戻すと，三角関数への代入がしやすくなります。片側の指定があれば近づく向きも対応させます。
  • sin⁡(t+π)=−sin⁡t\sin(t+\pi)=-\sin t，cos⁡(t+π2)=−sin⁡t\cos\left(t+\dfrac{\pi}{2}\right)=-\sin t などの公式で，変形します。基準角の正弦・余弦の値を加法定理へ入れることで，正負の正弦や余弦に簡単になります。公式を暗記だけで処理するより，基準角がどの位置かを単位円で確認すると負の符号を検算できます。
  • 変形したら，sin⁡tt→1\dfrac{\sin t}{t}\to 1 を使います。分母も同じ差の変数へ変えるため，三角関数の中の角と分母がそろいます。外へ出る負の符号や倍率はそのまま残し，基本比1とは別に計算します。分母の差の向きが逆なら，さらに負の符号が生じることにも注意します。
  • 基準角が異なる二つの例で同じ極限になることがありますが，同じ理由とは限りません。加法定理で何が0になり何が残ったかを式で示すと，符号の根拠を説明できます。最後に元の差の分母を復元し，向きの取り違えがないかを見直しましょう。
例題と解き方

lim⁡x→πsin⁡xx−π\lim_{x\to\pi}\dfrac{\sin x}{x-\pi} を求めなさい。

  1. t=x−πt=x-\pi とおくと，t→0t\to 0 で，sin⁡x=sin⁡(t+π)=−sin⁡t\sin x=\sin(t+\pi)=-\sin t です。
  2. −sin⁡tt→−1\dfrac{-\sin t}{t}\to -1 です。
  3. x=t+πx=t+\pi と分母 x−π=tx-\pi=t を一緒に置き換えます。sin⁡(t+π)=−sin⁡t\sin(t+\pi)=-\sin t なので，商は −sin⁡t/t→−1-\sin t/t\to-1。角の平行移動による負の符号が答えに残ります。

lim⁡x→π2cos⁡xx−π2\lim_{x\to\frac{\pi}{2}}\dfrac{\cos x}{x-\frac{\pi}{2}} を求めなさい。

  1. t=x−π2t=x-\dfrac{\pi}{2} とおくと，cos⁡x=cos⁡(t+π2)=−sin⁡t\cos x=\cos\left(t+\dfrac{\pi}{2}\right)=-\sin t です。
  2. −sin⁡tt→−1\dfrac{-\sin t}{t}\to -1 です。
  3. cos⁡(t+π/2)=−sin⁡t\cos(t+\pi/2)=-\sin t は加法定理から得られます。分母も tt なので −sin⁡t/t→−1-\sin t/t\to-1 です。点の角をただ0へ置き換えず，関数の形も同時に変えたことを確認します。
よくある間違い
  • 誤り：sin⁡(t+π)=sin⁡t\sin(t+\pi)=\sin t → 正しくは −sin⁡t-\sin t です。半回転で単位円の縦の値が反転することからも確認できます。
  • 誤り：t=x−πt=x-\pi と置いて t→πt\to\pi とする → 正しくは t→0t\to0 です。新しい変数は基準角からの差を表します。
  • 誤り：分母が π−x\pi-x でも x−πx-\pi と同じ符号とする → 正しくは π−x=−(x−π)\pi-x=-(x-\pi) です。差の向きを逆にすると商全体の符号も変わります。

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