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無限等比数列の計算問題

無限等比数列 r^n の極限を分類する（4択）

この単元のポイント

公式と考え方

等比型の数列では，公比の絶対値が項の大きさを，公比の符号が項の符号の変化を決めます。絶対値が1未満なら大きさが縮むため，交互に符号が変わっても0へ収束します。境界の1と負の1は別々に確認し，範囲の端を落とさないようにしましょう。

  • ∣r∣<1|r|<1 のとき，rn→0r^n\to 0（収束）。公比が負でも，絶対値が1未満なら絶対値の数列は0へ近づきます。正と負の両側から近づく様子は，有限の極限値を持たない振動と区別します。縮むか拡大するかを符号と別に見ると判断しやすくなります。
  • r=1r=1 のとき，rn=1r^n=1 で，1に収束。r>1r>1 のとき，rn→∞r^n\to\infty。公比1なら全項が1の定数列です。公比が1より大きい場合，毎回一定の割合で拡大するため上限なく増えます。公比0も，正の添字のべきなら全項0となるので，絶対値1未満の側に含まれます。
  • r≦−1r\leqq -1 のとき，振動して発散します。公比が負の1なら正負の1を往復し，負の1より小さいなら絶対値を増やしながら符号が変わります。後者は負の無限大へ単調に進むのではありません。偶数番と奇数番を分けると，二つの方向へ進むことが分かります。
  • 一般の初項をかけた等比数列でも，初項が0なら全項0という例外があります。ここでの基本形は初項に相当する係数が1のべきです。級数の和とは別の問いなので，収束時の0を和の公式の値と取り違えないようにしましょう。
例題と解き方

(12)n\left(\dfrac{1}{2}\right)^n，3n3^n，(−2)n(-2)^n，(−13)n\left(-\dfrac{1}{3}\right)^n の極限を，それぞれ答えなさい。

  1. (12)n→0\left(\dfrac{1}{2}\right)^n\to 0，3n→∞3^n\to\infty です。
  2. (−2)n(-2)^n は，符号が交互に変わりながら大きくなるので，振動（発散）です。(−13)n→0\left(-\dfrac{1}{3}\right)^n\to 0 です。
  3. 四つの答えは順に 0,∞,0,\infty, 振動して発散，00 です。最後の公比は負でも ∣−1/3∣<1|-1/3|<1 なので絶対値が縮みます。公比が負かどうかだけで一括して分類しないことが要点です。

an=(−1)na_n=(-1)^n と bn=(−1/2)nb_n=(-1/2)^n の収束を比べなさい。

  1. a2k=1,a2k−1=−1a_{2k}=1,a_{2k-1}=-1 で，二つの部分列が違う定数を持ちます。したがって ana_n は発散します。
  2. ∣bn∣=(1/2)n→0|b_n|=(1/2)^n\to0 です。−(1/2)n≤bn≤(1/2)n-(1/2)^n\le b_n\le(1/2)^n と両側からはさめます。
  3. よって bn→0b_n\to0。符号の交代は共通でも，絶対値が縮むかどうかが結論を分けます。
よくある間違い
  • 誤り：(−2)n→−∞(-2)^n\to-\infty → 正しくは振動して発散です。偶数番は正の無限大，奇数番は負の無限大へ進みます。
  • 誤り：(−1/3)n(-1/3)^n は負だから発散 → 正しくは0へ収束です。絶対値 (1/3)n(1/3)^n が0へ近づくことを使います。
  • 誤り：1n1^n の極限を0とする → 正しくは1です。絶対値1未満の条件を，境界1まで広げないようにします。

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