循環小数と無限等比級数の計算問題

循環小数を分数に直すときは，繰り返す数字のまとまりを一項ずつ取り出します。同じ桁数だけ右へずれるので，その項は公比が10の負のべきの等比級数になります。繰り返しの前に別の桁がある場合は，有限の部分と循環する部分を分けて考えましょう。

• $0.\dot{3}=0.3+0.03+0.003+\cdots$ は，初項 $0.3$，公比 $0.1$ の無限等比級数です。循環の点は繰り返しの範囲を示す記号です。二桁が一組なら，次の同じ組は二桁右へ動くため，100分の1になります。一桁ずつの10分の1と混同せず，まず最初の三項ほどを書き出して確かめます。
• 和は $\dfrac{a}{1-r}$ なので，$\dfrac{0.3}{1-0.1}=\dfrac{1}{3}$ です。公比は正で絶対値が1未満なので，等比級数の収束条件を満たします。初項は最初のまとまりが実際に置かれた位まで含めて読みます。数字の並びだけでなく，小数点からの距離が初項の大きさを決めます。
• 循環する桁数が $k$ のときは，公比が $10^{-k}$ になります。一桁循環なら公比は十分の一，二桁なら百分の一です。非循環の前置き部分がある場合も，繰り返すまとまり同士のずれで公比が決まります。全体をいきなり同じ長さの循環小数として扱わないようにします。
• 分数を得たら約分し，必要なら小数へ戻すか，桁をずらした差で検算します。無限小数を途中で切り捨てた近似値と区別し，最後まで等号でつなぐ式は正確な値を表すようにします。繰り返しを消す引き算も，等比和と同じ結果になります。

• 誤り：二桁循環の公比を0.1とする → 正しくは0.01です。$0.12$ の次のまとまりは $0.0012$ で，100分の1へ移ります。
• 誤り：$0.121212\ldots=12/100$ とする → 正しくは $12/99=4/33$ です。最初の二桁だけでなく，その先のすべての項を足します。
• 誤り：$0.1666\ldots$ 全体を16の繰り返しとする → 正しくは $0.1+0.0666\ldots$ と分けます。繰り返す範囲は6の一桁です。