はさみうちを利用した三角関数の極限の計算問題

振動する関数に極限がなくても，全体の大きさを0へ近づく量でおさえられることがあります。はさみうちでは，式そのものの極限を分解する代わりに，上下の比較を作ります。とくに正弦や余弦の絶対値が1以下という性質を使い，変動の幅を評価しましょう。

• はさみうちの原理：$g(x)\leqq f(x)\leqq h(x)$ で，$g$ と $h$ が同じ値 $\alpha$ に収束するなら，$f$ も $\alpha$ に収束します。不等式は，極限を取る点の近傍や十分遠い範囲で成り立てば使えます。最初の有限個の点で形が違っても結論に影響しない場合があります。ただし近づく向きで係数の符号が変わるなら，不等式の向きを正確に処理する必要があります。
• $|\sin x|\leqq 1$ を使って，$\left|\dfrac{\sin x}{x}\right|\leqq\dfrac{1}{|x|}$ のように，上下をおさえます。絶対値でおさえると，左右からの接近をまとめやすくなります。対象の絶対値が0以上で，かつ0へ近づく上限以下なら対象も0へ進みます。入力が負になり得る式で，分母の符号を無視して通常の不等式をわらないようにします。
• $x\to 0$ で $x\sin\dfrac{1}{x}\to 0$ のように，有界な関数に，0に近づく関数をかけた形にも使えます。内側の角が無限大へ振動しても，外にかかる係数が0へ縮めば全体の振幅が小さくなります。これは「極限がないものに0をかけたから0」という積の公式ではありません。絶対値の上限を明示することが根拠です。
• 上下の式が異なる値へ進むだけでは，真ん中の極限は決まりません。両端の一致を最後に確認しましょう。三角関数以外にも有界な関数なら同じ発想が使えますが，分母が0を避けるなどの定義域の条件は残します。

• 誤り：$\sin(1/x)$ に0での極限があるとして積を分ける → 正しくは振動部分を $|\sin(1/x)|\le1$ で評価します。積の公式の条件がそろっていません。
• 誤り：$-1\le f(x)\le1$ だけで $f(x)\to0$ とする → 正しくはこの挟み方だけでは不十分です。両端が同じ0へ近づく評価が必要です。
• 誤り：$|x\sin(1/x)|\le x$ が負の $x$ でも成立する → 正しくは上限を $|x|$ とします。絶対値の上限を負の数にはできません。