無限級数の計算問題

無限級数の和とは，有限個を足した部分和が近づく有限値のことです。無限等比級数では，初項と公比を読み取り，収束条件を満たすときだけ和の公式を使います。各項が0へ近づくことと，和が有限値へ近づくことを区別しましょう。

• 部分和 $S_n=a_1+\cdots+a_n$ が有限の値 $S$ に収束するとき，無限級数は収束するといい，$S$ をその和といいます。部分和の列を作ることで，「無限個を足す」を極限の問題として定義できます。有限の段階では通常の加法ですが，項を増やした先で値が落ち着くかは別の判定です。途中の項を並べ替えるなどの操作も，有限和と同じ感覚で勝手に行わないようにします。
• 各項が0に近づくことは，級数が収束するための必要条件ですが，それだけでは十分ではありません。例えば $\dfrac{1}{n}\to 0$ ですが，$1+\dfrac{1}{2}+\dfrac{1}{3}+\cdots$ は発散します。必要条件は，部分和の差として各項が0へ近づくことから分かります。ただし調和級数のように，各項が小さくなっても合計が増え続ける例があります。一般の級数で，項の極限0だけを収束の根拠にしてはいけません。
• 初項 $a$，公比 $r$ の無限等比級数 $\sum_{n=1}^{\infty}ar^{n-1}$ は，$|r|<1$ なら収束し，和は $\dfrac{a}{1-r}$ です。公式は有限等比和の残りのべきが0へ近づくことから得られます。公比の絶対値を確認するのは，この残りが消える条件だからです。負の公比でも絶対値が小さければ，部分和が上下に揺れながら和へ近づきます。
• $|r|\geqq 1$（$a\neq 0$）のときは，発散します。初項が0でない場合，公比の絶対値が1以上なら項が0へ進まないため，級数は発散します。初項0なら全項0という例外です。境界の公比1や負の1も，公式の分母だけで判断せず部分和の動きを見ます。
• まず公比 $r$ を求めて，$|r|<1$ かどうか確かめます。例の数列で隣り合う項の商を取れば公比を確かめられます。和を求めたら，最初の部分和の位置や，残りの絶対値が縮むかを見ます。正の項だけの級数なら，有限の部分和は全体の和を越えないことも確認材料になります。

• 誤り：$3+6+12+\cdots$ の和を $3/(1-2)=-3$ とする → 正しくは発散です。公式を使う前に $|r|<1$ を確認します。
• 誤り：収束条件を $r<1$ だけとする → 正しくは $-1<r<1$ です。公比が負の2でも1より小さいですが，項は0へ近づきません。
• 誤り：$1/n\to0$ から調和級数も収束とする → 正しくは項の極限0だけでは判定できません。部分和の極限を調べる必要があります。