数列の極限の性質と計算の計算問題

極限の和・差・積・商の性質は，各数列が有限値へ収束することを確かめたうえで使います。とくに商では分母の極限が0でない条件が必要です。式を項別の極限へ分けてよいかを判断してから，数値を組み合わせましょう。

• $\lim_{n\to\infty}(a_n\pm b_n)=\alpha\pm\beta$，$\lim_{n\to\infty} ka_n=k\alpha$ です。定数倍も和も，収束している数列どうしならその極限値へ同じ演算を行えます。式に出る係数はそのまま保ちます。ただし発散する数列を含めた式へ，有限値向けの性質を形だけ適用することはできません。
• $\lim_{n\to\infty} a_nb_n=\alpha\beta$，$\lim_{n\to\infty}\dfrac{a_n}{b_n}=\dfrac{\alpha}{\beta}$（$\beta\neq 0$）です。分母が0でない有限値へ近づけば，十分先では分母も0を避け，商の極限を計算できます。分母の極限を調べる前に分数を作るのではなく，条件と計算をセットで書くと，公式の使い過ぎを防げます。
• 分母の極限が0のときは，この性質は使えません。分母の極限が0のときは，商が有限値，無限大，振動などどの振る舞いにもなり得ます。分子も0なら不定形として，約分などの追加の情報が必要です。0へ近づくことと，式の中で0としてわることを区別します。
• 複合した式では，内側の演算から極限を組み立てます。最後に分母が0にならないかを再確認しましょう。具体的な数列を一例作って確認することは理解に役立ちますが，一例の計算だけで一般の性質の証明とはしません。

• 誤り：$a_n\to3,b_n\to-2$ から積の極限を1とする → 正しくは $3\times(-2)=-6$ です。元の演算を保って組み合わせます。
• 誤り：分母の極限0に対して $\alpha/0$ を計算する → 正しくは商の公式の対象外です。各項の具体的な増減や符号を別に調べます。
• 誤り：$1/n\to0$ だから $n(1/n)\to0$ とする → 正しくは各項の積は1です。発散する $n$ に有限値の積の公式をそのまま使えません。