分数関数の無限大での極限の計算問題

分子・分母の次数を比較して、分数関数の±∞での極限を求める

この単元のポイント

公式と考え方

有理関数の無限遠での極限は，分子と分母の次数差を見て，残る主要なべきと係数比を調べます。次数が等しければ有限の比へ，分母が高ければ0へ進みます。分子が高い場合は，正負の方向と次数差の偶奇まで含めて発散の向きを決めましょう。

分子の次数 $<$ 分母の次数：極限は 0 です。分子と分母は，最高次係数が0でない整理済みの多項式として比較します。分子が恒等的に0なら関数も0であり，通常の次数差の判定とは別です。分母が0になる有限の点があっても，十分遠い範囲での極限には直ちに影響しません。
分子の次数 $=$ 分母の次数：極限は，最高次の係数の比です。同次数なら，同じべきで全項をわると両方の主要係数が残ります。下位の項は逆数のべきとなって消えるため，定数項の比を取るのではありません。分母の主要係数が0でないことが，商の公式を使う条件です。
分子の次数 $>$ 分母の次数： $\pm\infty$ に発散します（符号は，最高次の項で決める）。分子が高いときは，係数比と次数差のべきの積に近い振る舞いを持ちます。負の無限大で次数差が偶数ならべきは正，奇数なら負です。分子だけの次数の偶奇では判断しないようにします。
因数分解して約分したり，割り算で多項式と小さい余りへ分けたりする方法でも検算できます。どの方法でも十分遠くの同じ値を調べています。有限の例外点を約分で補っても，元の定義域と混同しないことが大切です。

例題と解き方

$\lim_{x\to\infty}\dfrac{3x+1}{x^2+2}$ と $\lim_{x\to\infty}\dfrac{3x^2+1}{2x^2+x}$ を求めなさい。

$\lim_{x\to -\infty}\dfrac{x^3+1}{x+1}$ を求めなさい。

$\dfrac{x^3+1}{x+1}=x^2-x+1$ です。
$x\to -\infty$ で， $x^2\to\infty$ なので， $\infty$ です。
次数差は $3-1=2$ で偶数，係数比は正です。約分後の $x^2-x+1=x^2(1-1/x+1/x^2)$ も，負の無限大で正の無限大へ進むと確認できます。

よくある間違い