簡単な関数の極限の計算問題

基本関数の有限点での極限では，その点で連続に振る舞うことを確かめ，関数値を計算します。多項式なら直接代入でき，分数や根号では定義域や分母の条件も必要です。値を入れて式が定まることと，どんな関数でも極限が一致することを混同しないようにしましょう。

• $\lim_{x\to a}f(x)=f(a)$ となる関数を，$x=a$ で連続であるといいます。連続とは，近づいた先の極限とその点での値が一致することです。関数値が書かれているだけで連続とは限りません。ここで扱う多項式などの既知の連続性を使うから，代入による計算が正当化されます。
• 多項式は，どの点でも連続です。分数関数は，分母が0でない点で連続です。分数関数では，近づく点で分母が0でなければ商の性質が使えます。平方根は根号内が0以上の範囲で連続です。定義域の端では，その範囲から近づく片側の極限かどうかにも注意して，問題の指定を読みます。
• 代入して分母が0になるときは，別の方法（因数分解など）を使います。分母0の形でも，近くでの式を変形して極限が分かる場合があります。それは直接代入の方法とは別の段階です。まず代入でどの形になるかを確認し，有限の値がそのまま得られるか，約分などが必要かを判断します。
• 計算は，累乗や根号を先に処理してから加減します。得た数に近い値を，少し離れた入力で確認することは見通しに役立ちます。ただし左右両方の存在が問われる場合は，片側の数値だけで断定せず，連続性の条件を根拠にします。

• 誤り：どんな関数でも関数値を入れれば極限になる → 正しくは，その点で連続という条件を確認します。点の値と近くの振る舞いは別の情報です。
• 誤り：分母0の式を通常の商として計算する → 正しくは不定形や発散の可能性を調べます。0ではわることができません。
• 誤り：$\sqrt4$ を正負の2と答える → 正しくは2です。関数の平方根は0以上の値を表し，方程式の二つの解とは区別します。