三角関数の変形を利用した極限の計算問題

倍角公式などで変形し、sin x/xの基本極限に帰着させて求める

この単元のポイント

公式と考え方

三角関数の差や比が0割る0になる場合は，恒等式で正弦と角の比を作ります。半角・倍角の公式は，消える速さや残る係数を表へ出すために使います。角が弧度法で0へ近づくことを確かめ，変形で生じた倍率を最後まで保ちましょう。

$1-\cos x=2\sin^2\dfrac{x}{2}$ を使います。余弦が1へ近づくために生じる差は，正弦の二乗に直すと基本極限へつながります。変形はすべての角で成り立つ恒等式から始めます。余弦を先に1と置いて差を0にしてしまうと，分母と比較する情報を失います。
$\dfrac{1-\cos x}{x^2}=2\cdot\dfrac{1}{4}\left(\dfrac{\sin\frac{x}{2}}{\frac{x}{2}}\right)^2$ と変形できます。半角を分母にも作ると，分母の二乗から4倍の差が出ます。外の2と合わせて最終的に二分の一が残ります。角の係数は二乗されることがあるため，一次の比と同じ感覚で係数を落とさないようにします。
分母・分子をそれぞれ $\sin$ の形にして， $\dfrac{\sin ax}{\sin bx}\to\dfrac{a}{b}$ も使えます。正弦どうしの比では，分子と分母に基本比を作り，外側の係数比を取り出します。分母側の角の係数は0でないことが必要です。分母側の基本比が1へ近づけば，商の極限を取る条件も確かめられます。
解き終えたら，元の式の正負を見て結果の符号を照合します。余弦の差と角の二乗の比は近くで非負なので，負の答えなら変形の符号を疑えます。恒等式を戻す検算で，半角の係数や二乗の範囲も確認しましょう。

例題と解き方

$\lim_{x\to 0}\dfrac{1-\cos x}{x^2}$ を求めなさい。

$1-\cos x=2\sin^2\dfrac{x}{2}$ なので， $\dfrac{2\sin^2\frac{x}{2}}{x^2}=\dfrac{1}{2}\left(\dfrac{\sin\frac{x}{2}}{\frac{x}{2}}\right)^2$ です。
$\dfrac{1}{2}\times 1^2=\dfrac{1}{2}$ です。
$t=x/2\to0$ なので基本比は1へ進み，二乗しても1です。外の倍率 $2\times(1/2)^2=1/2$ を残して，極限は $1/2$ と確かめられます。

$\lim_{x\to 0}\dfrac{\sin 2x}{\sin 3x}$ を求めなさい。

分母・分子を $x$ でわります。 $\dfrac{2\cdot\frac{\sin 2x}{2x}}{3\cdot\frac{\sin 3x}{3x}}$ です。
$\dfrac{2}{3}$ です。
分母の基本比 $\sin(3x)/(3x)\to1\ne0$ なので商を計算できます。分子も基本比1へ進み，外の比 $2/3$ が残ります。

よくある間違い

誤り： $(1-\cos x)/x^2$ を $(1-1)/x^2=0$ とする → 正しくは不定形を変形し，極限 $1/2$ を得ます。差の小ささを先に消してはいけません。
誤り：半角の分母を作って外の係数を2とする → 正しくは $2\times(1/2)^2=1/2$ です。半角への変換は二乗にも反映します。
誤り： $\sin(2x)/\sin(3x)\to1$ → 正しくは $2/3$ です。両方の正弦が0でも，近づく角の倍率が残ります。