極限の計算(2)の計算問題

変数が正や負の無限大へ進むときは，十分遠くで支配的になる項を取り出します。負の無限大では，べきの偶奇によって符号が変わるため，次数だけでなく向きも必要です。多項式ならくくり出し，分数なら正規化という形で，残る補正項を0へ近づけます。

• 多項式は，最高次の項でくくると，ふるまいが分かります。多項式では同類項を整理したあとで，残る最も高いべきを選びます。定数式に簡単になった場合はその値へ収束するので，最高次数の判定は非定数の場合の手順です。記載順で最初の項だけを見ないようにします。
• $x\to -\infty$ では，$x^n$ は $n$ が奇数なら $-\infty$，偶数なら $+\infty$ に向かいます。項全体の符号は，係数も含めて判断します。変数が負なら奇数乗も負，偶数乗は正です。さらに最高次の係数が負なら，全体の向きは反転します。かっこの中が0でない有限値へ進むことまで確認すると，初期の符号変化に惑わされず判断できます。
• 分数関数は，分母の最高次の項で，分子・分母をわります。分子と分母を同じべきでわることは，十分遠くではそのべきが0でないため可能です。分母の正規化後の極限が0でなければ，商の極限法則を使えます。負の無限大でも逆数の各項は0へ進みますが，符号は元のべきへ反映します。
• 正と負の無限大の二方向を求める場合は，同じ式でも答えが同じとは限りません。くくった主要部の符号を方向別にメモすると，最後に一方だけを写す誤りを防げます。大きな正負の入力による概算も符号の確認に使えます。

• 誤り：$x\to-\infty$ で $x^2\to-\infty$ → 正しくは正の無限大です。偶数乗は負の符号を打ち消します。
• 誤り：$x\to-\infty$ で $-x^3\to-\infty$ → 正しくは正の無限大です。奇数乗の負に，係数の負がもう一度かかります。
• 誤り：$\frac{2x^2+x}{x^2+1}$ を $\frac{2+1/x}{1+1}$ とする → 正しくは分母が $1+1/x^2$ です。定数項も同じべきでわります。