片側極限の計算問題

片側極限では，近づく点の右側または左側だけで関数の様子を調べます。場合分けや絶対値があると，左右で使う式が変わるため，別々に計算する必要があります。両側の極限を答えるときは，二つの行き先を最後に比較しましょう。

• 右側極限 $\lim_{x\to a+0}f(x)$，左側極限 $\lim_{x\to a-0}f(x)$ です。右側はその点より大きい入力，左側は小さい入力から近づけることです。点そのものを入れる操作ではありません。境界でどちらの式が関数値を担当するかと，片側でどの式を使うかは別に確認します。
• 両方が同じ値のときだけ，$\lim_{x\to a}f(x)$ が存在します。有限の両側極限が存在するには，左右が同じ有限値へ近づくことが必要です。左右の平均を取って結論にする方法はありません。片側の極限が存在しない場合も，両側が同じ有限値へ収束するとはいえません。
• 左右の極限が同じ有限の値なら，その値に収束します。左右とも $+\infty$ なら，$+\infty$ に発散します。左右とも同じ向きの無限大へ進むなら，両側でその向きへ発散するといいます。有限値の収束とは呼び分けます。左右で正負が逆の無限大になる場合は，同じ行き先を持つ両側極限としてまとめられません。
• 絶対値や場合分けのある関数では，左右でふるまいが違うことがあります。絶対値は，中身が非負ならそのまま，負なら符号を反転します。近づく点を境に符号が切り替わるかを調べ，左右で約分した式を作ります。絶対値の記号を無条件に外すと，一方の側の情報を失うため注意が必要です。

• 誤り：$|x|/x=1$ が負の $x$ でも成り立つとする → 正しくは左側で $|x|=-x$ より商は負の1です。
• 誤り：右側1，左側負の1なので平均0が極限 → 正しくは両側極限は存在しません。二つの値を平均する定義はありません。
• 誤り：点での関数値が0なら極限も0とする → 正しくは近傍の式から左右を調べます。点の値一つを変えても片側の極限は変わりません。