極限の計算の計算問題

因数分解や約分を利用して0/0形の極限を求める

この単元のポイント

公式と考え方

分子と分母がともに0へ近づく極限は，その情報だけでは値が決まりません。多項式の共通因数を見つけ，近づく点を除いた範囲で約分すると，連続な式へ直せる場合があります。点そのものの値を定義することと，近くの極限を求めることを区別しましょう。

極限では， $a$ そのものを除いた近くの $x$ での値を調べるので， $x\neq a$ の範囲で $(x-a)$ を約分できます。約分は0を消す操作ではなく，0でない共通因数でわる操作です。近づく点では元の式が未定義でも，その点以外の十分近くで同じ式になれば極限は共通になります。条件を書いたうえで式を簡単にします。
約分したあとで， $x=a$ を代入します。因数が残った式で分母が0にならなければ，連続性を使って極限を計算できます。約分後も分母0なら，さらに変形するか片側の符号を調べる必要があります。最初の一回の約分で必ず有限値になるとは限りません。
$\dfrac{0}{0}$ は不定形で，値は式によって異なります。分子の0になる因数が分母より多ければ極限0，重なりが同じなら有限値，少なければ無限大などになり得ます。見た目の0割る0で判断せず，因数として残る個数に注目します。
検算では因数分解をかけ戻して元の多項式へ一致するかを調べます。さらに近い入力で約分前後の値を比べれば，式の同値な範囲を確認できます。求める答えには極限値を示し，元の関数値が存在すると勝手に付け加えないようにします。

例題と解き方

$\lim_{x\to 2}\dfrac{x^2-4}{x-2}$ を求めなさい。

分子を因数分解して約分します。 $\dfrac{(x-2)(x+2)}{x-2}=x+2$ です。
$x\to 2$ で， $4$ です。
$x\ne2$ の近くで元の式は $x+2$ に等しく，この式は2で連続です。よって極限は4です。元の式へ $x=2$ を入れた関数値は，別途定義しなければ存在しません。

$\lim_{x\to 1}\dfrac{x^2-3x+2}{x-1}$ を求めなさい。

分子は $(x-1)(x-2)$ なので，約分して $x-2$ です。
$x\to 1$ で， $-1$ です。
$x\ne1$ で約分後は $x-2$ です。これに1を入れて $-1$ を得ます。因数を戻すと $(x-1)(x-2)=x^2-3x+2$ で，分解の符号も一致しています。

よくある間違い

誤り： $0/0=1$ とする → 正しくは不定形です。 $\frac{x^2-4}{x-2}$ のような元の式の情報を用いて極限4を求めます。
誤り： $\frac{(x-2)(x+2)}{x-2}=x+2$ が $x=2$ でも元の式の等式だとする → 正しくは $x\ne2$ での等式です。極限の共有と点の値を区別します。
誤り： $x^2-3x+2=(x+1)(x+2)$ → 正しくは $(x-1)(x-2)$ です。因数分解を展開して係数へ戻すと符号を確認できます。