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極限の等式から関数の定数決定の計算問題

極限が有限値になる条件から、関数に含まれる定数a，bを決定する

この単元のポイント

公式と考え方

分母が0へ近づく式の極限が有限だという条件は，分子にも対応する消去が必要なことを教えます。分子が多項式で分母が一次因子なら，まずその点で分子が0になる等式を作れます。さらに約分後の極限値を使い，残りの係数を決めましょう。

  • f(x)f(x) が多項式のとき，lim⁡x→af(x)x−a\lim_{x\to a}\dfrac{f(x)}{x-a} が有限の値になるなら，分子 f(a)=0f(a)=0 でなければなりません（そうでないと，発散する）。多項式は連続なので，近づく点での分子の値を調べられます。もし0でない値なら，一次の分母だけが0へ縮み，有限の極限は得られません。この必要条件は，分母の零点やその重なり方によって使い方が変わります。
  • f(a)=0f(a)=0 から1つ目の条件を作り，約分したあとの極限値から，2つ目の条件を作ります。分子が0になると，因数定理により対応する一次因子でくくれます。既知の条件を先に代入して整理すると，因数分解がしやすくなります。約分したあとで指定の極限値と比較し，二つ目の条件を取り出します。
  • 求めた定数を，もとの式に代入して，確かめます。条件が一つしかない段階では，複数の係数はまだ決まりません。分子が0という必要条件と，極限が指定値という条件を別の行へ書きます。極限値をそのまま分子の点での値にしてしまわないことが重要です。
  • 決定した係数を元の分子へ入れ，実際に共通因子を消せるかを確かめます。そのうえで極限値を再計算すれば，必要条件だけで終わらず十分に成立することを示せます。係数を求める問いなので，最後は各文字の値をそろえて答えます。
例題と解き方

lim⁡x→1x2+ax+bx−1=3\lim_{x\to 1}\dfrac{x^2+ax+b}{x-1}=3 のとき，定数 aa，bb の値を求めなさい。

  1. 極限が有限なので，分子が x=1x=1 で0になります。1+a+b=01+a+b=0，b=−a−1b=-a-1 です。
  2. 分子は x2+ax−a−1=(x−1)(x+1+a)x^2+ax-a-1=(x-1)(x+1+a) なので，極限は 2+a=32+a=3 より，a=1a=1，b=−2b=-2 です。
  3. a=1,b=−2a=1,b=-2 なら分子は x2+x−2=(x−1)(x+2)x^2+x-2=(x-1)(x+2) です。x≠1x\ne1 で商は x+2x+2，極限は3となり，有限という条件と指定値の両方を確認できます。

lim⁡x→2x2+ax+bx−2=5\lim_{x\to2}\frac{x^2+ax+b}{x-2}=5 となる a,ba,b を求めなさい。

  1. 有限のため 4+2a+b=04+2a+b=0，よって b=−4−2ab=-4-2a です。分子は (x−2)(x+a+2)(x-2)(x+a+2) と分解できます。
  2. 約分後の極限は a+4a+4 です。a+4=5a+4=5 から a=1a=1，b=−6b=-6 を得ます。
  3. 実際に x2+x−6=(x−2)(x+3)x^2+x-6=(x-2)(x+3) なので極限は5です。二条件を満たす答えは a=1,b=−6a=1,b=-6 です。
よくある間違い
  • 誤り：有限の極限3から分子の値を 1+a+b=31+a+b=3 とする → 正しくは 1+a+b=01+a+b=0 です。指定値3は約分後の商の極限に使います。
  • 誤り：1+a+b=01+a+b=0 の一本だけで係数が決まったとする → 正しくはさらに 2+a=32+a=3 を用います。二つの役割の異なる条件が必要です。
  • 誤り：分子が0ならどんな分母でも有限になるとする → 正しくは零点の重なりも確認します。分母が二乗などなら，一度の消去だけでは不足する場合があります。

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