sin x / x の極限の計算問題

角が0へ近づくときの正弦と角の比は，弧度法で測ると1へ近づきます。係数の付いた式では，正弦の中の角と分母を同じ形にそろえ，残った倍率を外へ出します。0割る0を直接計算するのではなく，この基本極限へ帰着させる変形が要点です。

• $\lim_{x\to 0}\dfrac{\sin x}{x}=1$ です（$x$ はラジアン）。ラジアンは，弧の長さを半径でわった角の測り方です。この単位で基本極限が1になります。度数法の数値を同じ式にそのまま入れると定数因子が変わるため，角の単位も計算条件として確認します。
• $\lim_{x\to 0}\dfrac{\sin ax}{bx}=\dfrac{a}{b}$ です（$b\neq 0$）。$a\neq 0$ のときは，$\dfrac{\sin ax}{ax}\cdot\dfrac{a}{b}$ と変形します。$a=0$ のときは，分子が0なので，極限は0です。角が定数倍されても，その定数が0でなければ変数と一緒に0へ進みます。分母へ同じ角を作るために，外へ補う係数が必要です。分子の角を変えず分母だけを変更した式は，元の値と同じとは限りません。
• $\lim_{x\to 0}\dfrac{\tan x}{x}=1$ も成り立ちます。正接は正弦を余弦でわる形へ直します。基本極限と余弦の極限1を組み合わせると，角との比も1へ進みます。ここでも0近傍の0でない点で，分母となる余弦が0を避けることを確認できます。
• 三角関数の角は，特に断らない限り，弧度法（ラジアン）で表します。係数の比を出したら，元の角に対応する数を分子側，元の分母の係数を分母側に置けているか確認します。負の係数も同じ変形で処理できますが，外へ出した符号を消さないようにします。基本極限にする部分と，残る定数部分を分けて書きましょう。

• 誤り：$\sin(3x)/x\to1$ → 正しくは3です。正弦の角3倍に合わせて，外側にも倍率3が必要です。
• 誤り：$\sin(2x)/(5x)$ の極限を $5/2$ とする → 正しくは $2/5$ です。角の係数が分子側に残ります。
• 誤り：$\sin x^{\circ}/x\to1$ → 正しくは $\pi/180$ です。度の数値はまず $\pi x/180$ ラジアンへ換算します。