不定形（分数式）の計算問題

分数で表す数列の極限では，分子と分母の支配的な次数をそろえて比較します。同じべきで両方をわれば，0へ近づく補正項と主要な項が分かれます。無限大どうしの商を1と決めず，係数や次数の差から結果を求めましょう。

• 分子・分母を，分母の最高次の項（たとえば $n^2$）でわります。分数の値を変えないため，分子と分母の全項を同じ0でない数でわります。項番号は正の整数なので，そのべきを使えます。最高次以外も同じ倍率を受けるため，項の一部だけを消さないようにします。
• $\dfrac{1}{n}$，$\dfrac{1}{n^2}$ などの項は，0に近づきます。残った負のべきの項が0へ進むことで，主要な係数だけの比へ近づきます。分母が1や別の0でない定数へ近づいたことを確認してから商の公式を使います。0に近づく項を最初から式の中で消した等式を書くわけではありません。
• 分子の次数が小さいなら0，同じなら係数の比，大きいなら $\pm\infty$ になります。次数の比較は，同類項を整理したあとの非零多項式で行います。分子の次数が高い場合も，係数の比の符号で発散の向きを決めます。分母の最高次係数が負なら，分子の符号だけで判断してはいけません。
• 求めた値は，大きい項番号での概算と比べて見通しを確かめられます。ただし数値の一致は証明ではないので，正規化した分母が0でない値へ進むことと，各補正項の極限を式で示して結論を支えます。

• 誤り：$\frac{3n^2+n}{n^2-2}$ で $n^2$ の項だけ消す → 正しくは $\frac{3+1/n}{1-2/n^2}$ です。全項へ同じ除法を行います。
• 誤り：$\infty/\infty=1$ とする → 正しくは不定形です。たとえば $3n^2/n^2=3$ であり，増える速さや係数が結果を左右します。
• 誤り：$\frac{2n+1}{n^2+3}$ の極限を2とする → 正しくは0です。同次数の係数比の規則を，次数が違う場合へ当てはめないようにします。