有理化を利用した極限の計算問題

平方根の差を含む0割る0型では，共役な式をかけて差を多項式へ直します。そこで現れる共通因数を約分し，最後に有限点へ近づけます。有理化による等しい式への変形と，極限値の代入という二つの段階を分けましょう。

• $\sqrt{A}-\sqrt{B}$ には，$\sqrt{A}+\sqrt{B}$ をかけて，$A-B$ にします。和と差の積が平方の差になる公式を使います。分数の値を変えないため，共役な式は分子と分母の両方へかけます。その式が0にならない近傍で操作できるか，平方根の定義域とともに確認します。
• 有理化したあと，$x-a$ など，分子と分母の共通因数を約分すると，不定形がなくなります。分母にも因数を残してから，共通する積の因数を消します。足し算でつながれた項の一部だけを約分することはできません。根号がなくなる側を先に計算し，どの因数が共通になったかを明確にします。
• 約分した後で，$x\to a$ の値を代入します。代入するのは，0でわらない形に整理した式です。元の式が近づく点で未定義でも，点を除く近傍で一致するなら同じ極限を持ちます。関数の値そのものを作り直したという意味ではない点に注意しましょう。
• 答えを確かめる際は，共役な和が正かどうかも見ます。元の根号の差と分母の符号が同じなら商は正になるなど，符号の見積もりができます。小さい数の直接の差は丸めに弱いため，数値確認も有理化後の式を使うと安定します。

• 誤り：共役な和を分子だけへかける → 正しくは分母にもかけます。元と違う関数へ変えてしまうと，極限値も保たれません。
• 誤り：$(\sqrt{x+4}-2)(\sqrt{x+4}+2)=x+8$ → 正しくは $(x+4)-4=x$ です。二乗の差の符号を確かめます。
• 誤り：約分前に0を入れて商を0とする → 正しくは $x\ne0$ で約分してから極限を取ります。0割る0には計算値を割り当てません。