関数の連続性の計算問題

ある点での連続性は，その点での関数値と，周囲から近づいた極限値が一致するかを調べる問題です。極限が存在するだけでも，点の値が定義されるだけでも十分ではありません。場合分けの境目では，左右の極限と点の値の三つをそろえて確認します。

• 連続の条件：$\lim_{x\to a}f(x)$ が存在し，それが $f(a)$ に等しいこと。まず関数値が定義されているか，次に極限が存在するか，最後に両者が等しいかを順に調べます。一つでも欠ければその点で連続とはいえません。極限を取る式の添字と，定数で定義された点の値を区別しましょう。
• 場合分けで定義された関数では，境目の点で，左右の極限と関数の値が等しいかを調べます。左右に異なる式を使う場合は，両方から同じ値へ近づく必要があります。片側だけを点の値へ合わせても，反対側が違えば連続になりません。極限を求める段階で点そのものの値を使わないことが大切です。
• 定数を含むときは，この等式から，定数の値を決めます。定数を決める問いでは，近傍での式から極限値を出し，境界の定義と等置します。関数の点の値を補って穴を埋める例では，近くの式は変えずに，その点だけを極限値へ設定できます。
• 決めた定数を関数の定義へ戻し，左右の近づき方と実際の点の値をもう一度並べます。約分を使う場合は近傍での操作の条件も残します。分母0の元の式がその点で定義されたと考えるのではなく，別の定義で値を補ったと説明します。

• 誤り：$f(1)=a$ が書かれているので常に連続 → 正しくは極限2と一致する $a=2$ の場合だけです。値があることだけでは足りません。
• 誤り：$x^2-1$ と $x-1$ に1を入れ0割る0を関数値にする → 正しくは近傍で約分して極限を求め，点の値は場合分けの定義から読みます。
• 誤り：左右の極限が違っても点の値を平均にすれば連続 → 正しくはどんな一点の値を選んでも，左右の不一致を直すことはできません。