指数関数・対数関数の極限の計算問題

指数関数・対数関数の性質を利用して、x→±∞やx→0での極限を求める（4択）

この単元のポイント

公式と考え方

指数関数と対数関数の極限は，底が1より大きいか，0と1の間かで増減の向きが変わります。対数では入力が正である定義域の条件も欠かせません。指数と対数が互いに逆の関係にあることを使い，近づく方向と答えの符号を確かめましょう。

底 $a>1$ ： $\lim_{x\to\infty}a^x=\infty$ ， $\lim_{x\to -\infty}a^x=0$ です。実数の指数関数では底を正とし，対数ではさらに底1を除きます。底が1より大きい場合，指数が大きいほど値も大きくなります。負の無限大へ進むと逆数が小さくなるため，0へ正の側から近づきます。
底 $0<a<1$ ： $\lim_{x\to\infty}a^x=0$ ， $\lim_{x\to -\infty}a^x=\infty$ です。0と1の間の底は，1より大きい数の逆数と見られます。指数の符号を変えた式に直せば，増減の逆転を説明できます。底そのものが負の場合は，一般の実数指数で同じ議論ができないので対象外です。
$\lim_{x\to\infty}\log x=\infty$ ， $\lim_{x\to +0}\log x=-\infty$ です（底が1より大きいとき）。対数は正の入力だけで定義され，0への極限は右側から考えます。底が1より大きければ，ごく小さい正の数を表す指数は大きな負になります。底が0と1の間ならこの向きが逆転するので，底の条件を必ず添えます。
有限点では定義域内の連続性によって代入できます。無限遠や0の境界ではグラフの増減か，指数の逆の関係を利用します。0へ近づく指数関数値は0を取るという意味ではなく，十分小さい正の値を取り続けます。

例題と解き方

$\lim_{x\to\infty}2^{-x}$ と $\lim_{x\to +0}\log_2 x$ を求めなさい。

$2^{-x}=\left(\dfrac{1}{2}\right)^x\to 0$ です。
$\log_2 x$ は， $x\to +0$ で $-\infty$ です。
$2^{-x}=(1/2)^x$ では底が0と1の間なので極限は0です。一方 $\log_2(2^{-m})=-m$ で， $m\to\infty$ なら入力は正の側から0，値は負の無限大へ進むと確認できます。

$\lim_{x\to\infty}(1/3)^x$ と $\lim_{x\to+0}\log_{1/3}x$ を求めなさい。

よくある間違い