数列の和と極限の計算問題

和どうしの比の極限は，それぞれの和を有限個の項の公式で表してから計算します。項の数と末項の対応を確認すると，和の増え方を多項式の次数で比較できます。無限個の項を直接割るのではなく，部分和の比という数列を調べましょう。

• 等差数列の和 $S_n=\dfrac{n\{2a+(n-1)d\}}{2}$ を，$n$ の式で表します。等差数列では，初項と公差だけでなく項数を正確に数えます。末項が文字で表されているときは，初項から何回公差を足したかを見ます。項数を末項の数値と同じものだと思い込まないことが重要です。
• 比 $\dfrac{S_n}{T_n}$ を $n$ の分数式にして，最高次の項でわって，極限を求めます。和を整理すると，多くの場合は二次の項が主になります。共通する因数を約分してから正規化しても，同じべきで分子分母をわっても構いません。十分先で分母が0でないことを確認して商の極限を用います。
• 和の公式を使わずに，項を書き並べて極限を考えるのは，誤りのもとです。各項の比と，和の比は別の数列です。等差型で最後に似た値が出ることがあっても，理由なく末項どうしの比に置き換える一般則はありません。まず公式から得た有限の等式を出発点にしましょう。
• 最初の数項で公式を点検すると，項数や係数の取り違えを発見できます。小さい項番号での検算は和の式の確認に使い，極限そのものは正規化後の補正項が0になることから結論します。

• 誤り：$1+3+\cdots+(2n-1)$ の項数を $2n-1$ とする → 正しくは $n$ 項です。公差2で並ぶ奇数列の添字を確認します。
• 誤り：和の比を初項の比1だけで判断する → 正しくは部分和を $n$ の式へ直します。和全体の増え方は，最初の一項だけでは分かりません。
• 誤り：$n(n+1)/2$ の係数 $1/2$ を落とす → 正しくは最高次係数の比にも $1/2$ が残ります。有限和の公式を先に点検します。