無限大・発散する極限の計算問題

分母が0に近づくときの符号を調べ、±∞に発散する極限を求める

この単元のポイント

公式と考え方

有限点の近くで分母が0へ縮む商は，分子が0でない値へ進むなら絶対値が大きくなります。その向きが正か負かは，分子と分母の符号で決まります。左右からの近づき方を分け，無限大への発散と両側極限の不一致を区別しましょう。

$\lim_{x\to 0}\dfrac{1}{x^2}=\infty$ （分母が正で0に近づく）。二乗の分母は，0以外の近傍では正です。左右から近づいても分母の符号が同じなら，商の向きも同じになります。分母が小さくなるほど商は小さくなる，という見方は逆数では使えません。
$\infty$ は数ではなく，限りなく大きくなるようすを表す記号です。正の無限大は，どんな正の大きさも最終的に越えるという振る舞いです。到達する数値として無限大を代入するのではありません。有限値への収束とは呼び分け，答えには発散の向きを明示します。
$\lim_{x\to a+0}\dfrac{1}{x-a}=\infty$ ， $\lim_{x\to a-0}\dfrac{1}{x-a}=-\infty$ です。一次の因数は，近づく点の右側と左側で符号が変わります。分子の符号も含めて表にすると，片側極限の正負を整理できます。因数が偶数乗か奇数乗かを確認すると，左右で変わるか判断しやすくなります。
左右の極限が異なるときは，極限は存在しません。片側が正の無限大，反対側が負の無限大なら，両側として同じ行き先を持ちません。一方で左右とも正の無限大なら，その向きへの発散と答えられます。「絶対値が大きい」という情報だけで両者を同一視しないことが大切です。

例題と解き方

$\lim_{x\to 0}\dfrac{1}{x^2}$ を求めなさい。

$x^2$ は， $x$ が正でも負でも，正の値で0に近づきます。
$\infty$ です。
$x=0.1$ なら $1/x^2=100$ ， $x=-0.1$ でも100です。一般に $0<|x|<1/\sqrt M$ なら $1/x^2>M$ （ $M>0$ ）なので，左右から正の無限大へ発散します。

$\lim_{x\to 2+0}\dfrac{1}{x-2}$ と $\lim_{x\to 2-0}\dfrac{1}{x-2}$ を求めなさい。

よくある間違い