極限条件から多項式関数の決定の計算問題

無限遠の極限条件は，多項式を高い次数から順に読み取る手掛かりになります。主要な項を引いて次のべきでわると，次の係数が現れます。定数項まで決めるには別の値の条件を使い，すべての係数を元の極限へ戻して確認しましょう。

• $f$ が多項式で，$\lim_{x\to\infty}\dfrac{f(x)}{x^2}=a$（有限の値）なら，$f$ の次数は2以下です。$a\neq 0$ なら2次式で，$x^2$ の係数が $a$ です。主要なべきより高い次数の非零項があれば，その商は一般に有限に収束しません。有限という条件によって高次項が除かれ，極限値が対応する係数になります。極限が0なら，その次数の係数が0である可能性を含めます。
• さらに $\lim_{x\to\infty}\dfrac{f(x)-ax^2}{x}=b$ なら，$x$ の係数が $b$ です。すでに求めた主要項を先に差し引くので，残った低次の部分を調べられます。元の多項式をそのまま一次のべきでわると，高次項が残って発散する場合があります。「引く項」と極限条件の対応を見落とさないようにします。
• 定数項は，$f(0)$ などの条件から決めます。0を代入できる多項式では，すべての正のべきが消えるため定数項だけが残ります。ほかの点での値が与えられた場合も，既知の係数を入れて最後の定数を解けます。条件の数だけを数えず，どの係数に関する情報かを見ます。
• 完成した式をそれぞれの正規化された商へ入れて，再度極限を計算します。低次項の逆数べきが0になることを示せば，読み取った各係数へ戻ると確認できます。次数が下がる場合でも，問題の条件に反しないかを正確に判断します。

• 誤り：$f(x)/x^2\to0$ でも必ず二次式とする → 正しくは二次の係数が0で，次数が低い可能性があります。非零の最高次係数という条件を確認します。
• 誤り：第二条件で $f(x)/x$ をそのまま使う → 正しくは指定の主要項を引いた $(f(x)-3x^2)/x$ を使います。高次項を消す操作が必要です。
• 誤り：極限の二条件だけで定数項も1とする → 正しくは $f(0)=1$ の条件を使います。無限遠で消える補正項からは定数を直接決められません。