数列の収束，発散の計算問題

多項式・無理式・分数式・三角関数の数列の収束・発散を判定する（4択）

この単元のポイント

公式と考え方

数列の収束を調べるときは，項番号を限りなく大きくした先で，有限の一つの値へ近づくかを判断します。増え続ける場合だけでなく，異なる値の間を往復する場合も発散です。初めの数項の印象と，ずっと先の振る舞いを分けて考えましょう。

収束： $\lim_{n\to\infty}a_n=\alpha$ （ $\alpha$ は有限の値）。極限値に実際に到達する必要はありません。差の絶対値をいくらでも小さくできるという見方が大切です。定数列は最初から同じ値なので収束しますが，少しずつ違う値の列も同じ値に近づけば収束します。
発散：正の無限大 $\infty$ になる，負の無限大 $-\infty$ になる，または振動して値が定まらない。無限大は有限の到達値ではなく，大きさに上限がなくなる様子を表します。正負の無限大への発散と，振動による発散は答え方を区別します。符号が交互でも振幅が0に近づくなら，収束する場合があります。
式の最高次の項に注目すると，ふるまいが分かります。多項式型では整理後の最高次の項，分数型では分子と分母の増え方が手掛かりです。振動が疑われる場合は偶数番目と奇数番目を別に見ると，異なる値へ進むことを説明できます。数項だけを計算して一般の結論にしないようにします。
収束かどうかを答える際は，有限の極限値，無限大への向き，振動という理由を添えます。小さい補正項が0になるのか，主になる項が大きくなるのかを式で示すと，グラフや表からの推測を数学的な説明へつなげられます。

例題と解き方

次の数列は，収束しますか。収束するなら極限値を答えなさい。(1) $a_n=\dfrac{2n+1}{n}$ 　(2) $a_n=n^2-n$ 　(3) $a_n=(-1)^n$

(1) $a_n=2+\dfrac{1}{n}\to 2$ で，収束します（極限値2）。
(2) $n^2-n=n(n-1)\to\infty$ で，発散します。
(3) $-1$ と $1$ をくり返すので，振動して発散します。
(1) は $a_n-2=1/n\to0$ で差が消えます。(2) は $n\ge2$ なら $n(n-1)\ge n^2/2$ で増大します。(3) は $a_{2k}=1,a_{2k-1}=-1$ と異なる部分列を持つため，一つの有限値へ収束しません。

$a_n=3+\frac{(-1)^n}{n}$ の収束を調べなさい。

よくある間違い