公式と考え方

差に分けた項が次の項と打ち消し合う級数では，有限の部分和を先に作ります。最初と最後に残る項を正確に数えることで，無限の和を扱える形になります。無限個の項をいきなり消すのではなく，消去が有限の段階で正しいことを確かめましょう。

$\dfrac{1}{n(n+1)}=\dfrac{1}{n}-\dfrac{1}{n+1}$ のように，部分分数に分解します。部分分数への分解は，右辺を通分して元の分子に戻るかで検査できます。分母の差が1以外なら補う係数が必要です。形が似ているからといって，係数を省略して二つの逆数の差にしないようにします。
部分和 $S_n$ を求めて， $\lim_{n\to\infty}S_n$ をとります。添字の最後を別の文字にして，最初の数項と最後の数項を並べます。どの正の項がどの負の項と消えるかを対応させると，残る端の個数が見えてきます。和を取る添字と極限を取る項数を区別すると混乱を減らせます。
$\dfrac{1}{n(n+2)}=\dfrac{1}{2}\left(\dfrac{1}{n}-\dfrac{1}{n+2}\right)$ のように，係数に注意します。添字が二つずれていれば，先頭にも末尾にも通常二つずつ残ります。片方の端だけを見て終わらず，有限和の式を作ってから末尾の逆数の極限を求めます。外側の係数も，部分和全体にかかるものとして残します。
項数1や2の小さい部分和で公式を照合すると，添字のずれや端の落としを見つけられます。その確認のあとで，末尾が0へ近づくことを使います。正の項の級数なら，計算した有限和が最終的な和より小さいかも判断材料になります。

例題と解き方

$\sum_{n=1}^{\infty}\dfrac{1}{n(n+1)}$ を求めなさい。

部分和は $S_n=\left(1-\dfrac{1}{2}\right)+\left(\dfrac{1}{2}-\dfrac{1}{3}\right)+\cdots+\left(\dfrac{1}{n}-\dfrac{1}{n+1}\right)=1-\dfrac{1}{n+1}$ です。
$\lim_{n\to\infty}S_n=1$ なので，和は1です。
一般項を $1/k-1/(k+1)$ とし， $k=1$ から $n$ まで足すと残りは $1-1/(n+1)$ です。 $n=1$ では $1/2$ と元の第一項へ戻り，端の添字も合っています。

$\sum_{n=1}^{\infty}\dfrac{1}{n(n+2)}$ を求めなさい。

$\dfrac{1}{n(n+2)}=\dfrac{1}{2}\left(\dfrac{1}{n}-\dfrac{1}{n+2}\right)$ なので， $S_n=\dfrac{1}{2}\left(1+\dfrac{1}{2}-\dfrac{1}{n+1}-\dfrac{1}{n+2}\right)$ です。
$n\to\infty$ で， $\dfrac{1}{2}\cdot\dfrac{3}{2}=\dfrac{3}{4}$ です。
$n=1$ の部分和公式は $\frac12(1+1/2-1/2-1/3)=1/3$ で，第一項 $1/(1\cdot3)$ と一致します。末尾二項が消える極限では和は $3/4$ です。

よくある間違い

無限級数の和の計算問題

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