不定形（多項式の差）の計算問題

最高次の項でくくって多項式の極限を求める

この単元のポイント

公式と考え方

多項式の差で無限大どうしが現れたときは，差を取った式を整理し，残る最高次の項を調べます。同じ無限大という記号でも増える速さが違うため，機械的に引いて0とはできません。最高次のべきでくくり，係数と残りの極限から符号を判断します。

$n^2-3n=n^2\left(1-\dfrac{3}{n}\right)$ のように，最高次の項でくくります。最高次のべきを外へ出すと，低い次数の項は負のべきの小さい項になります。分子と分母の極限とは違い，ここでは積として増え方を見る変形です。くくった式をかけ戻し，すべての項を再現できるかも確かめます。
くくったあとの括弧の中は， $\dfrac{1}{n}\to 0$ を使って，極限を求めます。かっこの中が0でない有限値へ近づくなら，十分先ではその符号にそろいます。初めの数項で符号が違っても，極限には影響しません。いつから正か負かを不等式で示せると，無限大への説明がより明確になります。
最高次の項の係数が正なら $\infty$ ，負なら $-\infty$ になります。これは正の次数をもつ多項式についての判定です。整理で最高次の項が消えたら，次に残る次数を見ます。全体が定数になったときはその定数へ収束するので，整理前の次数だけで発散と決めないようにします。
符号を確かめたら，必要に応じて大きさの下限で無限大への振る舞いを確認します。正の係数のべきと同程度以上に増えることが示せれば，特定の数値を大量に計算しなくても発散の向きを説明できます。

例題と解き方

$\lim_{n\to\infty}(n^2-3n)$ を求めなさい。

$n^2\left(1-\dfrac{3}{n}\right)$ とくくります。
$n^2\to\infty$ ， $1-\dfrac{3}{n}\to 1$ なので， $\infty$ です。
$n\ge6$ なら $1-3/n\ge1/2$ なので $n^2-3n\ge n^2/2\to\infty$ です。よって正の無限大へ発散し，有限の極限値は持ちません。

$\lim_{n\to\infty}(n^2-n^3)$ を求めなさい。

$n^3\left(\dfrac{1}{n}-1\right)$ とくくります。
$n^3\to\infty$ ，括弧の中は $-1$ に近づくので， $-\infty$ です。
$n\ge2$ なら $1/n-1\le-1/2$ で， $n^2-n^3\le-n^3/2\to-\infty$ です。最高次の負の三次項が，二次項より強く効きます。

よくある間違い

誤り： $n^2-3n$ を $\infty-\infty=0$ とする → 正しくは $n^2(1-3/n)\to\infty$ です。増える速さを整理して比べます。
誤り： $n^2-n^3$ の先頭だけを見て正に発散とする → 正しくは最高次の $-n^3$ を見て負に発散です。項の記載順は次数順とは限りません。
誤り： $(n^2+n)-n^2$ を二次だから発散とだけ答える → 正しくは整理して $n\to\infty$ とします。相殺後に残る次数が判断対象です。