不定形（無理式）の計算問題

分子の有理化を使って無理式の数列の極限を求める

この単元のポイント

公式と考え方

根号のある数列の差では，大きな二量の差に小さな情報が残っていることがあります。共役な和をかける有理化によって根号の差を分子の多項式へ移し，増え方を比較します。項番号が正であることを使い，根号から因数を取り出す際の符号も確かめましょう。

$\sqrt{A}-\sqrt{B}$ は， $\dfrac{(\sqrt{A}-\sqrt{B})(\sqrt{A}+\sqrt{B})}{\sqrt{A}+\sqrt{B}}=\dfrac{A-B}{\sqrt{A}+\sqrt{B}}$ と変形します。有理化は，分子と分母へ同じ和をかけて値を保つ操作です。共役な和が0でない範囲で行います。平方の差の公式を使えるので，交差項を残さず根号内の差だけへ直せます。式を一段ずつ書くと約分の対象が見つかります。
変形後は，分母の最高次の項で，分子・分母をわって，極限を求めます。分母と分子の主要なべきをそろえることで，無限大の差から有限の商へ変わります。根号の中をそのまま次数で見て終わらず，根号を外へ出したあとの増え方を比べる必要があります。
$\sqrt{n^2+n}=n\sqrt{1+\dfrac{1}{n}}$ と， $n$ でくくる方法も使えます。一般に二乗から平方根を外すと絶対値になりますが，項番号は正なのでそのまま取り出せます。関数で変数が負の無限大へ進む問題とは違う条件です。正の平方根の値は負にならないことも合わせて確認します。
結果が有限値になる場合，元の二量はともに無限大でも差はその値へ近づきます。大きな数値を直接引く計算は丸め誤差を含みやすいので，検算の数値比較も有理化後の安定した式で行うと見通しを得られます。

例題と解き方

$\lim_{n\to\infty}\left(\sqrt{n^2+n}-n\right)$ を求めなさい。

有理化します。 $\dfrac{(n^2+n)-n^2}{\sqrt{n^2+n}+n}=\dfrac{n}{\sqrt{n^2+n}+n}$ です。
分子・分母を $n$ でわります。 $\dfrac{1}{\sqrt{1+\frac{1}{n}}+1}\to\dfrac{1}{2}$ です。
正規化後の分母は $\sqrt{1+1/n}+1\to2$ で，0になりません。したがって答えは $1/2$ 。元の差が正であることも，分子 $n>0$ の有理化した形から分かります。

$\lim_{n\to\infty}(\sqrt{4n^2+3n}-2n)$ を求めなさい。

よくある間違い