三角関数の基本的な極限の計算問題

三角関数の有限点での極限は，連続性によって角を代入して求めます。一方，無限大へ進む角では周期的な振動が続き，関数自身の極限は定まりません。振動があっても商全体では収束する場合があるため，どの式の極限を求めるのかを区別しましょう。

• 連続関数なので，$\lim_{x\to a}\sin x=\sin a$ です。角は弧度法で読むのが基本です。単位円の値が分かる角なら，正確な数で関数値を求められます。正弦と余弦はすべての実数の角で連続なので，有限の近づく点では左右から同じ値へ進みます。
• $x\to\infty$ のとき，$\sin x$，$\cos x$ は，$-1$ と $1$ の間を振動して，極限は存在しません。周期を何回進んでも振幅は小さくなりません。たとえば正弦が1になる角の列と負の1になる角の列を作れるので，無限遠で一つの値へは近づきません。ある角の列で0になることだけを見て，極限0としないようにします。
• $\sin x$，$\cos x$ のように，絶対値が一定の数以下の分子を，絶対値が $\infty$ になる分母でわった商は，はさみうちの原理で，0 に収束します。商では分子の振幅が有界であることが使えます。分母の絶対値が増え続ければ，商の絶対値を0へ近づく関数でおさえられます。分子自体の極限がなくても，はさみうちで全体の極限を求められるのがポイントです。
• 正接のような分数で表される三角関数では，分母の余弦が0でない有限点に注意します。正弦・余弦の連続性を，定義域外の点へそのまま広げないようにします。基本角の値と分母の条件を確かめてから計算しましょう。

• 誤り：$\sin x\to0$（$x\to\infty$） → 正しくは極限が存在しません。$x=\pi/2+2k\pi$ では常に1で，0へ近づかない列があります。
• 誤り：$\sin x/x$ の無限遠の極限を1とする → 正しくは0です。基本極限1は角が0へ近づく場合の話です。
• 誤り：$\tan x$ もすべての有限点で代入できる → 正しくは $\cos x\ne0$ の点で考えます。余弦が0となる角では正接は定義されません。