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定義による微分係数（平方根）の計算問題

根号の差を有理化し，差商から微分係数を求めます。

この単元のポイント

公式と考え方

根号の差を有理化し，差商から微分係数を求めます。

  • f′(a)=lim⁡h→0(f(a+h)−f(a))/hf'(a)=\lim_{h\to0}(f(a+h)-f(a))/h が出発点です。
  • 平方根の和を掛けると分子が2乗の差になります。
  • 約分は h≠0h\ne0 で行い，その後に極限を取ります。
例題と解き方

f(x)=2xf(x)=\sqrt{2x} の f′(1)f'(1) を定義から求めなさい。

  1. 差商は (2+2h−2)/h(\sqrt{2+2h}-\sqrt2)/h です。
  2. 有理化すると 2/(2+2h+2)2/(\sqrt{2+2h}+\sqrt2) です。
  3. h→0h\to0 として f′(1)=1/2=2/2f'(1)=1/\sqrt2=\sqrt2/2 です。
よくある間違い
  • 最初にh=0を代入して0/0で止めないようにします。
  • 根号の差を，根号の中の数の差に置き換えることはできません。

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