指数と対数の積の第3次導関数の計算問題

積の微分を繰り返すと，同じ種類の項が重なるので係数をまとめます。

この単元のポイント

公式と考え方

積の微分を繰り返すと，同じ種類の項が重なるので係数をまとめます。

e⁻ˣの導関数は符号を交互に変えます。
log xの導関数は1/x，−1/x²，2/x³と続きます。
3回微分の積の公式では係数1，3，3，1が現れます。

例題と解き方

$y=e^{-x}\log x$ の第3次導関数を求めなさい。

$y'=e^{-x}(1/x-\log x)$ です。
$y''=e^{-x}(\log x-2/x-1/x^2)$ です。
$y^{(3)}=e^{-x}(-\log x+3/x+3/x^2+2/x^3)$ （x>0）です。

よくある間違い

各微分でe⁻ˣ側から生じる項も足します。
−1/x²の微分は+2/x³となり，符号が変わります。

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