導関数の等式から2次関数を決めるの計算問題

未知の2次関数を係数で表し，微分後の係数と初期値を照合します。

この単元のポイント

公式と考え方

未知の2次関数を係数で表し，微分後の係数と初期値を照合します。

f(x)=Ax²+Bx+Cとおきます。
f″+kf′のxの係数と定数項を比較します。
微分だけでは消える定数Cを，f(0)の条件で決めます。

例題と解き方

$f''(x)+2f'(x)=8x$ ，f(0)=1を満たす2次関数を求めなさい。

f(x)=Ax²+Bx+Cなら $f''+2f'=4Ax+2A+2B$ です。
4A=8，2A+2B=0よりA=2，B=−2です。
C=1なので $f(x)=2x^2-2x+1$ です。

よくある間違い

f″を2Aではなく2Axとしないようにします。
定数項Cは微分の等式だけからは決まりません。

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