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log xの第n次導関数の帰納法の計算問題

初めの式を確認し，nからn+1への微分で係数と指数の規則を示します。

この単元のポイント

公式と考え方

初めの式を確認し，nからn+1への微分で係数と指数の規則を示します。

  • x>0で f(n)(x)=(−1)n−1(n−1)!/xnf^{(n)}(x)=(-1)^{n-1}(n-1)!/x^n を示します。
  • n=1ではf′=1/xで公式に一致します。
  • nの式を微分すると係数に−nが掛かり，n!と次の符号になります。
例題と解き方

f(x)=log⁡xf(x)=\log x の第n次導関数の公式を帰納法で示しなさい。

  1. n=1では (−1)00!/x=1/x=f′(x)(-1)^0 0!/x=1/x=f'(x) です。
  2. nで成り立つと仮定し，(−1)n−1(n−1)!x−n(-1)^{n-1}(n-1)!x^{-n} を微分します。
  3. 結果は (−1)n−1(n−1)!(−n)x−n−1=(−1)nn!/xn+1(-1)^{n-1}(n-1)!(-n)x^{-n-1}=(-1)^n n!/x^{n+1} です。
  4. n+1でも成立するので，すべての自然数nで成り立ちます。
よくある間違い
  • nの式を仮定しただけで終えず，n+1の形へ変形します。
  • 0!=1を使う初期段階n=1の確認も必要です。

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