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商・積・入れ子の根号の微分の計算問題

根号を含む複数の構造を，外側から順に分けて微分します。

この単元のポイント

公式と考え方

根号を含む複数の構造を，外側から順に分けて微分します。

  • 根号の内側をuとすると微分はu′/(2√u)です。
  • 商の場合は根号全体も分母の因子として扱います。
  • 有理化してから微分すると短くなる式もあります。
例題と解き方

y=1/(x+1+x2)y=1/(x+\sqrt{1+x^2}) を微分しなさい。

  1. 共役式を掛けると y=1+x2−xy=\sqrt{1+x^2}-x です。
  2. 根号の微分は 2x/(21+x2)2x/(2\sqrt{1+x^2}) です。
  3. y′=x/1+x2−1y'=x/\sqrt{1+x^2}-1 です。
よくある間違い
  • 1/(x+√(1+x²))を1/x+1/√(1+x²)に分けません。
  • 根号の内側x²の微分2xを掛け忘れないようにします。

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