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微分係数の定義を利用する極限の計算問題

0/0の形を差商として見直し，既知の導関数へ結び付けます。

この単元のポイント

公式と考え方

0/0の形を差商として見直し，既知の導関数へ結び付けます。

  • log 1=0を補うとlog x/(x−1)はx=1の差商です。
  • sin(x−a)/(x−a)→1を使って分母を調整できます。
  • 単に分子と分母へ同じ値を代入するだけでは0/0を解消できません。
例題と解き方

lim⁡x→a(sin⁡x−sin⁡a)/sin⁡(x−a)\lim_{x\to a}(\sin x-\sin a)/\sin(x-a) を求めなさい。

  1. 分母をx−aに合わせて，差商と(x−a)/sin(x−a)の積にします。
  2. 前者はcos a，後者は1へ近づきます。
  3. 極限はcos aです。
よくある間違い
  • 分母sin(x−a)を常にx−aと等号で置き換えず，極限比が1と考えます。
  • sin x−sin aをsin(x−a)そのものと取り違えません。

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