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底と指数がともに変数の対数微分の計算問題

底と指数が変わるべき関数は，対数を取ると積の微分へ変えられます。

この単元のポイント

公式と考え方

底と指数が変わるべき関数は，対数を取ると積の微分へ変えられます。

  • 底が正の範囲で log⁡(uv)=vlog⁡u\log(u^v)=v\log u を使います。
  • 指数vも微分するため，定数指数の公式だけでは足りません。
  • 微分した後は元のyを掛けて戻します。
例題と解き方

y=xsin⁡xy=x^{\sin x}（x>0）を微分しなさい。

  1. log⁡y=sin⁡xlog⁡x\log y=\sin x\log x です。
  2. 積を微分すると y′/y=cos⁡xlog⁡x+sin⁡x/xy'/y=\cos x\log x+\sin x/x です。
  3. y′=xsin⁡x(cos⁡xlog⁡x+sin⁡x/x)y'=x^{\sin x}(\cos x\log x+\sin x/x) です。
よくある間違い
  • sin xを定数の指数として扱うとcos x log xの項が落ちます。
  • (log x)ˣでは底を正にするためx>1が必要です。

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