連続だが微分不可能な関数の証明の計算問題

はさみうちによる連続性と，振動する差商による微分不可能性を区別します。

この単元のポイント

公式と考え方

はさみうちによる連続性と，振動する差商による微分不可能性を区別します。

$|x\sin(1/x)|\le|x|$ より原点での連続性を示せます。
差商ではxが消えてsin(1/h)が残ります。
異なる値へ近づく2つの数列を挙げると，極限が存在しないと示せます。

例題と解き方

$f(x)=x\sin(1/x)$ （x≠0），f(0)=0の原点での性質を示しなさい。

$-|x|\le f(x)\le |x|$ からf(x)→0です。
差商はsin(1/h)です。
h=1/(2nπ+π/2)では1，h=1/(2nπ+3π/2)では−1になります。
どちらの数列も0へ近づくため，差商の極限は存在せず微分不可能です。

よくある間違い

連続性のはさみうちを，差商にもそのまま使えません。
「振動する」だけでなく異なる極限を持つ具体的な数列を示します。

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